Simulação numérica - Um modelo de previsão

A Simulação Computacional (ou Simulação Numérica) é utilizada desde meados da década de 1950 para ajudar engenheiros e desenvolver projetos. Ela é empregada em diversas áreas da engenharia que vão desde mecânica estrutural até aeroespacial. A complexidade dos projetos atuais faz com que cada vez mais essa ferramenta seja empregada. Poucas situações na engenharia são triviais e a maioria dos problemas não se resolvem mais utilizando livros de cálculo, pois os fenômenos envolvidos são cada vez mais complexos e imprevisíveis.

Mas o que é a simulação computacional? A partir de um modelo simples de previsão pode-se ilustrar como nasceu a simulação computacional e suas aplicações.


Um simples modelo de previsão

Parte-se de um raciocínio simples, que levará a necessidade e importância da simulação computacional. Olhando para o sistema que é ilustrado pela Figura 1, aplica-se uma força F1 a mola e pretende-se saber o deslocamento do ponto P0 que se encontra na sua extremidade.

Figura 1. - Esquema de uma mola engastada.

Como se pode prever em que posição no eixo x o ponto P0 estará se a força F1 for 10N? E se F1 for 45N, onde P0 estará?

Ninguém precisa passar horas montando o esquema da figura para chegar a uma conclusão. Com uma simples pesquisa descobre-se que esse fenômeno já foi estudado. O inglês Robert Hooke dedicou um tempo a essa questão no século XVII, e viu que o deslocamento de P0 diante de uma força F1 obedece a relação matemática mostrada na Equação 1.


Equação 1. Lei de Hooke.

A Equação 1 mostra que se a constante característica da mola Km e a força F são conhecidas, pode-se prever o deslocamento x do ponto P0 sem ter que montar um experimento físico. Na física clássica tudo segue uma relação bem definida. Para prever o funcionamento dos fenômenos do dia-a-dia é só conhecer a equação que rege esse fenômeno. No entanto, na prática não é bem assim que funciona. Vamos a outro exemplo para ilustrar este fato.



Um modelo de previsão avançado

Um duto com duas venezianas é mostrado na Figura 2. Em uma determinada aplicação o ar entra pela frente do duto a uma velocidade V1. Deseja-se saber como o ar se comporta dentro desse duto para poder prever sua eficiência diante dessa condição de funcionamento.


Figura 2. Duto com duas venezianas.

Se na física tradicional tudo segue uma relação, pode-se aplicar a esse caso a relação para a dinâmica do escoamento de fluidos. Essa relação é definida pela equação de Navier-Stokes e é mostrada na Equação 2.


Equação 2. Equação que rege a dinâmica dos fluidos.

A equação acima descreve o fenômeno a ser estudado, porém é importante salientar que a resolução desta equação é extremamente complicada.

Dois teóricos de física e matemática, Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolveram ela no século XIX. Ela faz parte de um grupo de equações diferenciais extremamente difíceis de resolver. De fato, muito provavelmente a matemática ainda não avançou o suficiente e ninguém conseguiu resolve-la até hoje. A resolução dessa equação é considerada pelo Clay Mathematics Institute como um dos problemas do milênio, e é oferecido um prêmio de $1.000.000 de dólares para quem conseguir encontrar uma solução.

Não existe uma solução para o problema dos dutos com veneziana, pelo menos não matematicamente. Mas há outra maneira, através da simulação computacional. Mas para entender como os matemáticos chegaram na simulação computacional como resposta a esse problema, vamos acompanhar a linha de raciocínio deles quando tentaram resolver esse tipo de equação diferencial complexa.


Domínio do problema

Primeiro, toda equação é resolvida dentro de um domínio matemático que quase sempre representa o mundo físico. O domínio é o lugar onde a equação reina, é ela quem dita as regras. No caso do duto com venezianas o domínio da equação de Navier-Stokes é o fluido que passa por dentro do duto. Já os contornos do domínio, que também fazem parte dele, são as paredes dos dutos, venezianas e as entradas e saídas de ar. O domínio do problema é mostrado na Figura 3.


Figura 3. Domínio fluido do duto com venezianas.

Apesar de ser um problema simples do ponto de vista geométrico, afinal de contas é um simples duto com dois obstáculos posicionados em ângulo, ele é extremamente difícil de representar matematicamente. Representação esta que é necessária para resolver Navier-Stokes dentro desse domínio.


Discretização do domínio


Logo a primeira coisa que os matemáticos pensaram foi: "E se simplificarmos o domínio onde será aplicada Navier-Stokes? E se o domínio fosse um cubo, pirâmide, prisma ou até mesmo uma forma simples qualquer?" De fato, fica bem mais fácil resolver qualquer equação diferencial complexa como Navier-Stokes em um domínio simples. Esses pequenos domínios recebem o nome de elementos. Mas o que adianta resolver as equações para um pequeno elemento que apresenta um formato padrão simples se o domínio no caso do duto é bem mais complexo que isso? A resposta é que pode-se dividir o domínio original em milhares, milhões ou até bilhões desses elementos padrão. A discretização do domínio do duto é apresentada na Figura 4.


Figura 4. Domínio fluido discretizado com elementos tetraédricos.

Discretização das equações

Há ainda outra mágica que acontece, uma equação diferencial seja ela de qualquer tipo é composta por derivadas, essas derivadas por sua vez podem ser aproximadas por equações de primeiro grau normais. Mas isso só ocorre se o domínio onde a equação diferencial é aplicada além de simples for pequeno, como é o caso dos pequenos elementos que o problema do duto foi dividido e apresentado na Figura 4. Essa transformação das equações diferenciais para equações algébricas simples é chamada de discretização das equações. Existe basicamente 3 técnicas para discretizar uma equação diferencial: a técnica das diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos. Do caso da aplicação do duto com venezianas o método mais apropriado é o de volumes finitos.


Sistema de equações


Após o domínio e as equações serem discretizadas, cada elemento passa a ser representado por uma equação simples. Com isso pode-se montar um grande sistema de equações que representa o domínio todo. Ele é mostrado na Figura 5.


Figura 5. Sistema numérico de equações.

Esse sistema passa a ser a representação numérica do problema real. Ele geralmente é extremamente grande e quase impossível de se resolver manualmente, é ai que entra o papel do computador nisso tudo. Como o computador consegue lidar muito bem com esse tipo de sistema de equações, ele é usado para resolvê-lo. Dai surge o nome simulação computacional, pois é o computador que resolve o problema utilizando várias técnicas de iteração numérica após o problema ser discretizado.

Resultados


Os resultados da simulação computacional feita para o duto com venezianas com V1=3m/s são mostrados nas Figuras 6 e 7.

Figura 6. Perfil central de velocidades.

Figura 7. Perfil central de pressões.

Esse seria o tipo de resultado que seria obtido se a Equação 2 fosse resolvida, porém resolver o sistema da Figura 5 passa a ser equivalente. A partir dos resultados da simulação computacional os engenheiros podem tomar as decisões de projeto com base no que realmente esta acontecendo dentro do duto, e não com base em suposições.


A simulação computacional serve exatamente para isso, visualizar e analisar o que esta realmente ocorrendo fisicamente dentro de um determinado equipamento. Uma outra vantagem da simulação computacional, principalmente se comparada com experimentos, é possibilitar a visualização do fenômeno sem que o observador interfira nele. Fato este que não ocorre com experimentos pois nesse contexto haveria a necessidade de se colocar sensores dentro do duto, esses sensores irão interferir no próprio escoamento alterando os resultados.


As análises que podem ser feitas através de simulação computacional vão desde o movimento simples de fluido, passando pelo campo de pressão, temperatura e densidade até a concentração de um determinado agente químico que se quer estudar.