O método numérico na resolução de problemas aplicados

A simulação numérica é uma etapa cada vez mais importante do processo de desenvolvimento de um produto. Ela consiste em transformar um modelo geométrico gerido por algum fenômeno físico em um conjunto de equações lineares que podem ser resolvidas computacionalmente. O intuito do método numérico é o de simplificar a resolução de problemas cujas equações de governo e a geometria são muito complexas. Dessa forma, antecipando possíveis falhas no projeto do produto sem ter que fazer uma série de protótipos. Isso evita os disperdícios diminuindo assim o custo do projeto.

De um modo geral, o procedimento de simulação numérica é dividido em quatro etapas básicas:

  1. Simplificação do modelo computacional do produto: é a etapa que consiste em adquirir o modelo CAD advindo da fase de projeto ou design, e simplificar essa geometria sem alterar suas funcionalidades. Isso reduz o número de detalhes do modelo e tem o intuito de diminuir o custo computacional na geração da malha e na solução do problema;
  2. Discretização: consiste em discretizar a geometria do modelo CAD. Esse processo é feito gerando-se uma malha que divide o modelo em pequenos elementos. Em seguida adiciona-se todas as condições de contorno atreladas a ela.
  3. Resolução do problema: as equações de governo são discretizadas sobre cada um dos pequenos elementos obtidos da discretização do CAD. Em seguida monta-se uma matriz matemática que representa essa geometria discretizada. A partir disso o solver desenvolve o papel central, é ele o responsável pela resolução do sistema de equações gerados a partir da etapa de anterior. Essa resolução pode ser feita através de processo direto ou iterativo e consome muito recurso computacional.
  4. Pós-processamento: é a etapa na qual a análise dos resultados da simulação é feita, geralmente é a etapa mais demorada do ciclo de simulação e demanda grande quantidade de recurso computacional para o processamento gráfico da solução.

Geralmente essas etapas apresentadas estão situadas dentro de um ciclo de simulações. Esse ciclo é iniciado com a definição do fenômeno físico envolvido e da geometria que se quer analisar. Então, faz a simulação, verifica-se os resultados, e identifica-se as possíveis falhas ou pontos de melhoria. Após isso, essa geometria é modificada e simulada novamente. Esse ciclo se repete até que não haja mais melhorias a serem implementadas na geometria.

O modelo CAD

O modelo CAD deve ser simplificado de acordo com a aplicação. Modelos CAD para simulação estrutural não podem conter canto vivos, isso se deve ao fato das tensões calculadas nesses cantos tenderem ao infinito. Um exemplo de simplificação que é usada nesses casos pode ser vista na figura abaixo.

Já modelos CAD usados em simulações direcionadas para fluidodinâmica e transferência de calor preferencialmente não devem possuir excesso de curvas ou cantos arredondados. Isso se deve a grande quantidade de elementos que são usados para discretizar a geometria nessas regiões. O tipo de simplificação usada nesses casos é mostrada abaixo.

Há ainda alguns casos onde tanto um fluidodinâmica e trasferência de calor quanto estrutural devem ser simulados. Nesses casos as simplificações devem ser feitas de modo a não mudar significativamente o fenômeno físico, pois isso poderia alterar a previsão dos resultados.

Discretização do domínio

A discretização do domínio consiste em dividir o modelo CAD em pequenos elementos. O conjunto desses pequenos elementos é chamado de malha. Existe uma ampla gama de elementos que são utilizados para este fim. Esses elementos são escolhidos de acordo com a finalidade da simulação, o grau de precisão dos resultados e a capacidade computacional disponível. Alguns tipos de elementos usados na discretização são vistos abaixo.

A discretizadação de uma peça é mostrada a seguir:

Alguns dos parâmetros da malha influênciam diretamente os resusltados da simulação. Quanto menoré a distorção dos elementos, melhores são os resultados obtidos. Por isso a geração da malha é uma etapa crítica na simulação numérica. Após concluida a malha, alguns elentos do contorno da peça são agrupados. A esses grupos são impostos os efeitos físicos como temperatura, velocidade, pressão e força. Isso é chamado de condição de contorno.

Com a malha e as condições de contorno preparadas, a etapa seguinte pode ser iniciada.

O solver.

**Discretização das equações.

Qualquer fenômeno que se deseja simular é regido por uma equação ou conjuntos de equações matemáticas. Como os fenômenos da natureza são complexos, essas equações geralmente são equações diferenciais. Resolver um sistema de equações diferenciais é extremamente difícil, poucos sistemas tem solução matemática e os que possuem solução geralmente são formados por equações simples. Desta maneira o método numérico vem para possibilitar a resolução, mesmo que não tão precisa quanto a resposta matemática. O conceito básico é usar o metodo de discretização para transformar essas equações diferenciais em um sistema de equações lineares. Bem mais facil de resolver.

O processo de discretização das equações é feito utilizando-se o método apropriado. Esse método pode ser o das diferenças, elementos ou volumes finitos. No entanto os métodos mais comuns são o dos elementos e volumes finitos. O método de elementos finitos é utilizado geralmente para discretização de problemas estruturais, enquanto o método de volumes finitos é utilizado para a resolução de problemas de fluidodinâmica e transferência de calor. Mas existem programas de simulação que invertem essa relação. As equações de governo são então discretizadas para cada um dos elementos da malha.

**O resolução do sistema linear

Após essa discretização das equações o solver juntas cada uma delas em o sistema de equações lineares. Essas equações são então transformadas em uma matriz numérica. Ela será resolvida pelo solver com o auxílio de várias estratégias de resolução. Devido ao tamanho dessas matrizes o problema geralmente não pode ser resolvido de maneira direta, por isso o solver resolve essas matrizes através de algoritmos iterativos. Se cada interação deixa o resíduo do sistema linear mais próximo de 0 diz-se que o sistema esta convergindo para o resultado. Do contrário ele está divergindo. Quando o resíduo atinge a tolerância especificada o solver termina sua execução e gera o resultado da simulação

Pós-Processamento

A última etapa do processo de simulação é a responsável pela visualização dos resultados. Essa etapa é chamada de pós-processamento e geralmente demanda grande capacidade computacional. Em alguns casos é até necessário a visualização dos resultados utilizando processamento de vários computadores ao mesmo tempo. As principais funções dessa etapa são a visualização e animação de resultados.

Os programas que realizam essa tarefa dispões de uma série de filtros que facilitam a visualização dos resultados. Os mais importantes são os filtros de processamento de dados e os de visualização. Os fitros de processamento de dados, são responsáveis por executar calculos dos mais simples até os mais complexos. Um exemplo disso seriam cálculos que necessitam de matemática vetorial, como os cálculos o fluxo de alguma variável através de uma superfície ou o cálculo da propriedade média sobre uma superfície. Os filtros de visualização são empregados para plotar um determinado campo de uma variável sobre uma superfície ou plano. Esse filtro pode ser modificado conforme a necessidade de visualização.

Após a obtenção dos resultados eles são analisados e pode-se ter uma noção melhor de como um determinado produto se comporta. Isso facilita as tomadas de decisão na hora de melhorar ou alterar algum produto. Então as alterações são propostas e implementadas no modelo CAD e inicia-se uma nova rodada de simulações.

Após os produtos melhorados apresentarem desempenho suficiente nas simulações é que então pode-se fazer um protótipo do produto e testa-lo.